Jendela Matdis 18

TI Politala Matdis 1A

OPERATOR LOGIKA

•  PROPOSISI, OPERATOR, TABEL KEBENARAN DAN KALIMAT MAJEMUK

a)      Pengertian Proposisi

(Kasyfi Ivanedra) Proposisi merupakan suatu statement atau pernyataan pada matematika dimana statement tersebut digunakan sebagai kalimat dalam penalaran yang memiliki nilai Benar (True) atau bernilai Salah (False). Statement pada proposisi yang ada pada matematika biasanya 8 mengandung simbol p, q, dan r. Simbol-simbol itu merupakan simbol umum untuk identitas kalimat pada proposisi. Kalimat proposisi itu sendiri tersusun dari kalimat biasa yang jika dibuktikan kebenarannya akan menghasilkan nilai benar atau salah. Biasanya nilai benar disimbolkan dengan T dan nilai salah disimbolkan dengan F. Proposisi ada pada sebuah atau lebih kalimat yang dapat dibuktikan nilai kebenarannya. Contoh kalimat proposisi adalah sebagai berikut:

 a. Sebulan memiliki 30 hari

b. 3 + 3 = 6

c. Kuala Lumpur adalah Ibu Kota Malaysia

d. Ulat adalah hewan mamalia

 Dari contoh di atas, dapat kita ketahui dimana kalimat a, b, dan c adalah pernyataan yang benar. Sedangkan kalimat d adalah salah. Itulah yang merupakan proposisi, dapat diketahui nilai kebenarannya.

b)     Negasi

                        (Kasfy ivanedra) Operasi negasi (negation) atau penyangkalan, atau ingkaran adalah operasi yang dikenakan hanya pada sebuah pernyataan. Operasi negasi dilambangkan dengan tanda   “  ” atau “ – “ yang disebut tilde atau curl. Untuk selanjutnya akan dipakai simbol .   Seandainya p sebuah pernyatan tunggal, maka “ p” dibaca negasi p atau tidak p, atau bukan p, adalah pernyataan majemuk. Mungkin ada yang merasa agak janggal bahwa negasi merupakan suatu operasi logika matemtika, sehingga suatu pernyataan bernegasi atau penyangkalan dari suatu pernyataan merupakan suatu pernyataan majemuk. Namun jelaslah bahwa dalam pernyataan-pernyataan negasi itu pertama-tama terdapat suatu pernyataan atau proposisi yang bersifat tunggal,

misalnya : Macan adalah binatang buas Untuk menjadikan suatu pernyataan negasi, diperlukan pernyataan lain, yang menyatakan bahwa proposisi yang pertama tadi tidak benar, misalnya : Itu tidak benar

a.      Konjungsi (^)

Dua pernyataan p dan q dapat digabungkan menjadi satu pernyataan majemuk menggunakan konjungsi menjadi p^q (dibaca “p dan q).
Tabel kebenaran:

p	q	p^q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

b.       Disjungsi (V)

Dua pernyataan p dan q dapat di gabungkan menjadi satu pernyataan majemuk menggunakan disjungsi menjadi menjadi p v q (dibaca “p atau q”)

P	q	p v q
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

c.       Implikasi (à)

Dua pernyataan p dan q dapat digabungkan menjadi pernyataan majemuk menggunakan disjungsi menjadi p => q (dibaca “jika p maka q”)

Tabel kebenaran:

P	q	p à q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

bentuk-bentuk pernyataan majemuk :

a.       q=> p disebut konvers

b.      ~p=> ~q disebut invers

c.       ~q=> ~p disebut kontraposisi

=> q  ~q=> ~p disebut implikasi dengan ekuivalen dan kontraposisinya.

d.  Biimplikasi (ó)

Dua peryataan p dan q dapat digabungkan menjadi satu pernyataan majemuk menggunakan biimplikasi pó q .

Tabel kebenaran:

P	q	p ó q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

                       Contoh soal:

 p : Saya memakai mantel

q : saya merasa dingin

maka, p => q = “Saya memakai mantel jika dan hanya jika saya merasa dingin”.

 Pengertian kita adalah “Jika saya memakai mantel maka saya merasa dingin” dan juga “Jika saya merasa dingin maka saya memakai mantel”. Terlihat bahwa jika saya memakai mantel merupakan syarat perlu dan cukup bagi saya merasa dingin, dan saya merasa dingin merupakan syarat perlu dan cukup bagi saya memakai mantel. Terlihat bahwa kedua peristiwa itu terjadi serentak.

Contoh Soal :

Jika, p : Abdi anak pandai, dan

        q : Abdi anak cekatan.

maka p ∧ q  : Abdi anak pandai dan cekatan

Pernyataan p ∧ q bernilai benar jika Abdi benar-benar anak pandai dan benar-benar anak cekatan.

Apabila p ∧ q jika di negasikan menjadi ~p  ∨ ~q

Maka ~p  ∨ ~q : Abdi bukan anak pandai atau bukan cekatan

•                     TAUTOLOGI, KONTRADIKSI, DAN KONTINGENSI

1)      Pengertian Tautologi

Adalah proposisi majemuk yang selalu bernilai benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan kompenennya. Sebuah tautologi yang membuat pernyataan Implikasi disebut Implikasi Logis.

Contoh:

Perhatikan argument berikut:

“Jika Tono pergi kuliah, maka Dani juga akan pergi kuliah. Jika Cika tidur, maka Dani pergi kuliah. Dengan demikian, jika Tono pergi kuliah atau Cika tidur, maka Dani pergi kuliah.”

Maka sekarang dapat ditulis : ((A à B) ^ (C à B)) à (A V C) à B.

A	B	C	A à B	C à B	((AàB) ^ (CàB)	A v C	(Av C)àB	SOAL
B	B	B	B	B	B	B	B	B
B	B	S	B	B	B	B	B	B
B	S	B	S	S	S	B	S	B
B	S	S	S	B	S	B	S	B
S	B	B	B	B	B	B	B	B
S	B	S	B	B	B	S	B	B
S	S	B	B	S	S	B	S	B
S	S	S	B	B	B	S	B	B

     

Dari table kebenaran di atas menunjukan bahwa peryataan ((A à B) ^ (C à B)) à (A V C) à B adalah semua benar (Tautologi)

2)      Pengertian Kontradiksi

Kontradiksi adalah proposisi majemuk yang selalu bernilai salah untuk semua kemungkinan kombinasi nilai kebenaran dari proposisi-proposisi nilai pembentukan.

Contoh dari kontradiksi:

P ^ (~ p ^ q )

P	Q	~p	(~p^q))	P^(~p^q)
B	B	S	S	S
B	S	S	S	S
S	B	B	B	S
S	S	B	S	S

            Ini adalah table kebenaran yang menunjukan kontradiksi dengan alasan. Yaitu semua pernyataan bernilai salah.

3)      Pengertian Kontingensi

      Kontingensi adalah suatu ekspresi ligika yang mempunyai nilai benar dan salah di dalam table kebenarannya, tanpa memperdulikan nilai kebenarannya dari proposisi-proposisi yang berada di dalamnya. Ini termasuk bentuk campuran dari nilai benar (B) dan salah (S).

      Contoh dari kontingensi:

P v Q à R

P	Q	R	P v Q	(P v Q) à R
B	B	B	B	B
B	B	S	B	S
B	S	B	B	B
B	S	S	B	S
S	B	B	B	B
S	B	S	B	S
S	S	B	B	B
S	S	S	S	B

Ini adalah table kebenaran yang menunjukan kontingensi dengan alasan. Yaitu semua pernyataan bernilai benar dam salah.

•      EKUVALENSI

1)      Pengertian Ekuialensi

      Dua pernyataan tersebut dikatakan ekuivalensi jika untuk semua kemungkinan nilai kebenaran komponen-komponen mempunyai nilai yang sama.

Tabel Kebenaran:

B	B	S	B	B
B	B	S	B	B
B	S	S	S	S
S	B	B	B	B
S	S	B	B	B

      Ini adalah table kebenaran yang menunjukan ekuivalensi dengan alasan. yaitu semua pernyataan bernilai sama.

2)      Bentuk Logika Ekuivalensi

a.       Hukum Komutatif

a)      p ^ q ≡ q ^ p

b)      p ^v q ≡ q ^v p

b.      Hukum Asosiatif

a)      ( p ^ q) ^ r ≡ p ^ (q ^ r)

b)      ( p ^v q) v  r ≡ p v (q ^v r)

c.       Hukum Distributif

a)      p  ^ (q ^v r) ≡ (p ^ q) ^v (p ^ r)

b)      p  ^v (q ^ r) ≡ (p ^v q) ^v (p ^v r)

d.      Hukum de Morgan

a)      ~ (p ^ q) ≡ ~p ^v  ~q

b)      ~ (p ^v q) ≡ ~p ^ ~q

c)      ~ (p à q) ≡ ~p ^ ~q

d)      p à q ≡ ~p ^v  ~q

DAFTAR PUSTAKA

 

Wahyuhartati. (2016, Agustus). logika matematika,tautologi, kontradiksi dan kontingensi. Retrieved from tautologi, kontradiksi dan kontingensi: https://www.google.com/amp/s/wahyuyucha.wordpress.com/2016/08/30/logika-matematika-tautologi-kontradiksi-kontingensi/amp/#ampshare