TI
Politala 1A MAtdis
Nama :
Brilian Luhur Pambudi
NIM :
1801301008
Kelas : 1A
RELASI
Assalamuallaikum wr.wb
Diblog ini saya akan membahas
tentang Relasi dan sifat-sifatnya semoga bermanfaat bagi anda.
A.
Pengertian Relasi
Menyatakan hubungan antara suatu anggota himpunan dengan anggota
himpunan lainnya. Himpunan A dan himpunan B dikatakan memiliki
relasi jika ada anggota himpunan yang saling berpasangan. Relasi
antara dua himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara yaitu dengan diagram
panah, himpunan pasangan berurutan, dan diagram Cartesius.
contoh:
Misal
E = {2, 4, 6} dan F = {2, 4, 6, 8 }.
E × F
menjadi :
E × F =
{(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (4, 8), (6, 2), (6,
4), (6, 6), (6, 8)}
Jika
menggunakan aturan relasi/ hubungan diatas, relasi R dari E ke F
yang mengikuti aturan tadi
menjadi,
R = {(2,
2), (2, 4), (2, 6), (2, 8)}
Hubungan/Relasi
bisa juga terjadi hanya pada satu atau
sebuah himpunan, yaitu hubungan pada E,
di himpunan E, yang merupakan himpunan E × E.
B.
MACAM-MACAM RELASI dan SIFAT-SIFAT RELASI
1.
RELASI BINER
adalah hubungan antara dua elemen himpunan.
Hubungan ini bersifat abstrak, dan tidak perlu memiliki arti apapun baik secara
konkret maupun secara matematis.
Sifat-sifat relasi Biner :
a.
Reflektif
Suatu relasi bersifat reflektif
, jika setiap x є A, maka (A,A) є R
Contoh :
B = {1,2,3} dan R = {(x,y)│x,y є B,
xy > 0}
Apakah R reflektif atau tidak ?
Peny :
B x B =
{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,3) dari hasil kali Cartesian kita
memperoleh R =
{(1,1),(2,2),(3,3)}.
Karena semua hasil xy > 0 dan x є
B, maka R adalah relasi yang reflektif.
b. Simetris
Suatu relasi bersifat simetrik,
jika untuk setiap x,y є A dengan xRy dan yRx
Contoh :
M = {-2,-1,0,1,2} dan R = {(x,y) │x,y
є M, xy > 0}
Apakah R simetris atau tidak ?
Peny :
M x M = {(-2,-2), (-2,-1), (-2,0),
(-2,1), (-2,2), (-1,-2),(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2)
(0,-2), (0,-1),
(0,0), (0,1), (0,2), (1,-2), (1,-1), (1,0), (1,1), (1,2),(2,-2)
(2,-1), (2,0), (2,1), (2,2)}, dari hasil
kali Cartesian kita memperoleh
R = {(-2,-2),
(-2,-1), (-1,-2), (-1,-1), (1,1), (1,2), (2,2)}
Dari sini jelas terlihat bahwa untuk
setiap (x,y) є R berlaku (y,x) є R dengan x,y є M.
Jadi R adalah sebuah relasi yang
simetris.
c. Antisimetris
Suatu Relasi bersifat antisimetris,
jika untuk setiap x,y є A dengan xRy dan yRx maka x =
y.
Contoh :
A
= {-2,-1,0,1,2} dan R = {(x,y) │x,y є A,
y = │x }
Apakah R antisimetris atau tidak ?
Peny :
M x M = {(-2,-2), (-2,-1), (-2,0),
(-2,1), (-2,2), (-1,-2),(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2)
(0,-2), (0,-1),
(0,0), (0,1), (0,2), (1,-2), (1,-1), (1,0), (1,1), (1,2),(2,-2)
(2,-1), (2,0), (2,1),
(2,2)}, dari hasil kali Cartesian kita
memperoleh
R =
{(-2,2),(-1,1),(1,1),(0,0),(2,2)}
Dari sini jelas terlihat bahwa untuk
setiap (x,y) є R berlaku (y,x) є R dengan x,y є A. Jadi
R adalah sebuah relasi yang
antisimetris.
d. Transitif
Suatu Relasi bersifat transitif,
jika setiap x,y,z є A dengan xRy, yRz, dan xRz
Contoh :
A = {-1,0,1} dan R = {(x,y) │x,y є A, x
≥ y}
Apakah R transitif atau tidak
Peny :
A x A = {(-1,-1), (-1,0), (-1,1),
(0,-1), (0,0), (0,1), (1,-1), (1,0), (1,1)} dari hasil kali
Cartesian kita memperoleh,
R = {(-1,-1), (-1,0), (-1,1), (0,0),
(0,1), (1,1)}
Dari sini jelas terlihat bahwa untuk
setiap (x,y,z є A) dengan xRy dan yRz, berlaku xRz.
2. RELASI EKIVALEN
Adalah relasi yang memenuhi 3sifat
relasi yaitu reflektif, simetris dan transitif.
Contoh :
B = {a,b,c,d} dan R =
{(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(c,c),(c,d),(d,c),(d,d)}
Apakah R ekivalen atau tidak ?
Peny :
a. Reflektif : {(a,a),(b,b),(c,c),(d,d)}, ya reflektif
karena x є B berlaku (x,x) є R
b. Simetris :
Karena untuk setiap x,y є B dengan xRy berlaku yRx, maka R simetris.
Contoh :
{(a,b),(b,a)}
c. Transitif : {(a,b),(b,a),(a,a)}, karena x,y,z є B
dengan xRy dan yRz berlaku xRz,
Maka R adalah relasi yang
transitif.
Karena tiga sifat diatas yaitu
reflektif, simetrik dan transitif dipenuhi maka kita dapat
simpulkan bahwa R adalah relasi
ekivalen.
3. RELASI TOLAK PARSIAL (POSET)
Relasi R pada himpunan S dikatakan
relasi pengurutan parsial jika ia refleksif, tolak
setangkup, dan menghantar. Himpunan S
bersama-sama dengan relasi R disebut
himpunan
terurut sacara parsial, dan dilambangkan
dengan (S, R).
Contoh 1:
Relasi
pada himpunan bilangan bulat adalah relasi pengurutan parsial.
Penyelesaian:
Relasi refleksif : karena a a untuk setiap bilangan bulat a
Relasi
tolak-setangkup : karena jika a b
dan b , maka a = b.
Relasi
menghantar : karena jika
a b dan b c maka a c.
Contoh 2:
A = himpunan siawa SMP
R = relasi pada A
(a, b)
R jika a sekelas dengan b. Tentukan (A, R)
Penyelesaian:
R refleksif : setiap siswa SMP
sekelas dengan dirinya sendiri
R tolak setangkup : jika a sekelas dengan b, maka b
pasti sekelas dengan a.
R menghantar : jika a sekelas dengan b
dan b sekelas dengan c, maka
pastilah a sekelas dengan c.
Catatan : Secara intuitif, di dalam relasi
pengurutan parsial, dua buah benda saling
berhubungan jika salah
satunya lebih kecil (lebih besar) atau lebih rendah (lebih
tinggi) daripada lainnya.
4. REPRESENTASI
a. Representasi Notasi : R ⊆ (A x B)
Jika (a, b) ∈ R , maka kita dapat gunakan notasi a R b yang artinya a dihubungkan
dengan b oleh R. Namun jika (a,
b) ∉ R, maka kita dapat gunakan notasi a R b yang
artinya a tidak
dihubungkan dengan b oleh relasi R.
Misalkan P = {2,4,6} dan Q =
{2,4,8,10,12,13}.
Jika kita definisikan relasi R dari P
ke Q dengan :
(p,q) ∈ R jika p habis membagi q.
maka kita peroleh
R =
{(2,2),(2,4),(2,8),(2,10),(2,12),(4,4),(4,8),(4,12),(6,12)}
b. Representasi Table
Relasi dapat direpresentasikan
menggunakan tabel. Kolom pertama untuk menyatakan
daerah asal, sedangkan kolom kedua
untuk menyatakan daerah hasil.
Misalkan P = {2,4,6} dan Q =
{2,4,8,10,12,13}.
Jika kita definisikan relasi R dari P
ke Q dengan :
(p,q) ∈ R jika p habis membagi q.
maka kita peroleh
R =
{(2,2),(2,4),(2,8),(2,10),(2,12),(4,4),(4,8),(4,12),(6,12)}
c. Representasi Matriks
Misalkan R adalah relasi dari A =
{a1, a2, …, an} dan B ={b1, b2, …, bn}. Relasi R dapat
disajikan dengan matriks M = [mij],
dimana :
Dengan kata lain, elemen matriks bernilai
1 jika a¡ dihubungkan dengan bj, dan bernilai 0
jika tidak dihubungkan dengan bj.
Relasi pada contoh 1 dapat dinyatakan
dengan matriks berikut :
Dalam hal ini, a1 = Andi, a2 = Beni, a3
= Caca, dan b1 = TI231, b2 = TI321, b3 = TI412 ,
b4 = TI221.
d. Representasi Graf Berarah
Pada graf
berarah, tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (vertex), dan tiap
pasangan nya dinyatakan dengan busur (arc) yang arahnya ditunjukkan pada
sebuah panah. Jadi, jika (a, b) ∈ R, maka busur
dibuat dari simpul a ke simpul b.
Simpul a disebut simpul asal (initial vertex) dan
simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex).
Contoh :
a. Representasi graf untuk relasi R =
{(a,b), (a,c), (b,a), (b,c), (c,d),(a,d)}
b. Representasi graf untuk relasi R =
{(2,2), (2,5), (2,7), (3,8)}
Ditunjukkan pada gambar berikut :
Setiap elemen pada himpunan A maupun
himpunan B gambarkan dengan sebuah simpul (titik
bulat) dan arah dari suatu elemen ke
elemen yang lainnya ditunjukkan dengan sebuah panah.
Representasi dengan model ini dapat
dikatakan paling mudah untuk dibaca dibanding kedua
representasi yang lainnya.
DAFTAR PUSTAKA
http://www.catatanrobert.com/relasi-dan-representasinya-dengan-tabel-matriks-dan-graf-berarah/
https://adhityaramadhanblueshire.wordpress.com/2017/03/20/matematika-diskrit-relasi-dan-sifat-relasi-biner/
https://lamalamatika.wordpress.com/materi-relasi/
https://blog.ruangguru.com/apa-itu-relasi-dan-fungsi/
Tidak ada komentar:
Posting Komentar